Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y C.C.


Programa Oficial Ingeniería Civil
Todas las Especialidades


MAC0010 Álgebra T=4 E=4 L=0
Requisitos Ingreso Ciencia Básica
Dicta Departamento de Matemática
y Ciencia de la Computación
Autor Profesor Ricardo Santander Baeza
Versión 20/03/2001
Resolución Facultad de Ingeniería


Capacidades Generales del Curso


    Al final del curso el alumno podrá :
  1. Traducir los datos de un problema práctico a fórmulas algebraicas.
  2. Analizar y resolver problemas prácticos usando herramientas algebraicas.
  3. Generar algoritmos para la resolución de problemas básicos.
  4. Identificar datos, recursos y variables de decisión.


Resumen de Unidades Temáticas (Teoría y Ejercicios)


Unidad Título Número de horas
1. Matemática Básica y Álgebra de los Números naturales 50
2. Trigonometría y Geometría Analítica 60
3. Estructuras Algebraicas 40
4. Matemática Discreta 22
5. Sistemas Lineales 10
6. Transformaciones lineales 90
Total 34 Semanas 272


Referencias Bibliográficas

Texto Guía
Autor Libro Datos Editoriales
Santander, R. Algebra Elemental. Tomo I Universidad de Santiago 2001
Santander, R. Algebra Lineal. Tomo II Universidad de Santiago 2001


Textos de Referencia
Autor Libro Datos Editoriales
Bello, I. Álgebra elemental Brooks/Cole Publishing Company 1999
Billeke, J. Bobadilla, G. Cálculo I Universidad de Santiago 1999
Biswanath Datta. Numerical Linear Algebra and Applications Brooks/Cole Publishing Company 1995
Grimaldi, R. Matemáticas Discretas y Combinatorias Addison Wesley 1997
Grossman, S. Álgebra Lineal Mc Graw Hill 1997
Kaufmann, J. Álgebra Intermedia Brooks/Cole Publishing Company 2000
Kolman, B. Álgebra Lineal con Aplicaciones y Matlab Prentice Hall 1999
Swokowski, E. Álgebra y trigonometría Brooks/Cole Publishing Company 1997
Zill, D. Álgebra y trigonometría Mc Graw Hill 1999


Unidad Temática 1: Matemática Básica y Álgebra de los Números Naturales



    Capacidades a Desarrollar


  1. Operar con expresiones algebraicas.
  2. Operar con polinomios.
  3. Resolver ecuaciones que contienen radicales.
  4. Utilizar tablas de verdad para verificar equivalencias.
  5. Plantear problemas utilizando cuantificadores.
  6. Operar con sumatorias.
  7. Resolver problemas aplicando el método de Inducción Matemática.
  8. Determinar rápida y eficientemente los elementos de una progresión mediante un algoritmo.
  9. Plantear y resolver problemas utilizando progresiones.
  10. Emplear el concepto de búsqueda instantánea en desarrollos binomiales mediante un algoritmo.


Contenidos



1.1 Introducción a los polinomios
  • Potencias:Exponentes enteros y racionales
  • Polinomios una construcción intuitiva
  • Grado de un polinomio
  • Adición de polinomios
  • Producto de polinomios
  • Factorización y división de polinomios
  • Radicación
1.2 Fundamentos de lógica
  • Conectivos básicos y tablas de verdad
  • Equivalencia lógica: Leyes básicas
  • Implicación lógica: Reglas de inferencia
  • Adición de polinomios
  • Uso de cuantificadores
1.3 Álgebra de los Números Naturales
  • Sucesiones
  • Inducción Matemática
  • Sumatoria y Productoria
  • Progresiones aritméticas y geométricas
  • Teorema del binomio
  • Aplicaciones


    Tópicos a ser evaluados


  1. Resolución de problemas que involucran:
    • Operatoria de polinomios.
    • Ecuaciones con radicales.
    • Construcción de tablas de verdad.
  2. Interpretación de datos y formulación de esta a través de ecuaciones.
  3. Resolución de problemas que involucran:
    • Fórmulas de Inducción matemática
    • Progresiones
    • Determinación de cualquier término de un desarrollo binomial


Unidad Temática 2: Trigonometría y Geometría Analítica



    Capacidades a Desarrollar


  1. Analizar y clasificar relaciones y funciones según sus propiedades.
  2. Graficar funciones sinusoidales.
  3. Resolver ecuaciones trigonométricas.
  4. Resolver problemas prácticos usando trigonometría.
  5. Operar con vectores geométricos.
  6. Obtener la ecuación de la recta y del plano.(en forma cartesiana o vectorial)
  7. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
  8. Plantear problemas que involucren la condición de paralelismo y perpendicularidad.
  9. Reconocer y graficar las secciones cónicas clásicas.
  10. Determinar lugares geométricos en el plano.


Contenidos



2.1 Relaciones
  • El concepto de producto cartesiano: Definición y ejemplos
  • Clasificación de relaciones.(relaciones de equivalencia y de orden)
2.2 Funciones
  • Definición y Ejemplos
  • Dominio e imagen (recorrido)
  • Gráfico de funciones
  • construcción de funciones
  • Álgebra de funciones
  • Composición de funciones
  • Clasificación cualitativa de funciones
2.3 Función lineal
  • Definición y ejemplos
  • Estudio de su gráfico
  • El Plano Cartesiano
  • Distancia entre puntos del plano
  • La función lineal vista como conjunto de puntos
  • Concepto de pertenencia de un punto a una recta
  • Definición de pendiente de una recta
  • Distancia de un punto a una recta
  • Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
  • Aplicaciones a la Geometría Analítica
2.4 Funciones Trigonométricas
  • Definición y ejemplos
  • Estudio de sus gráficos
  • Identidades fundamentales
  • Fórmulas de sumas y diferencias de ángulos
  • Ecuaciones trigonométricas
  • Funciones trigonométricas inversas
2.5 Función Cuadrática
  • Definición y ejemplos
  • Estudio de su gráfico
  • Aplicación a la Geometría Analítica
  • Lugares geométricos clásicos: Parábola, Elipse, e Hipérbola


    Tópicos a ser evaluados


  1. Manejo de situaciones que involucran:
    • Determinación de clases de equivalencia
    • Determinación de dominios e imágenes de funciones
    • Clasificación cualitativa de funciones
    • Paralelismo y Perpendicularidad
    • Reconocimiento y determinación de una cónica
    • Gráfico de Funciones Sinusoidales
  2. Resolución de problemas que involucren:
    • Ecuaciones trigonométricas simples
    • aplicación de la Trigonometría
    • Lugares Geométricos en relación a rectas y cónicas


Unidad Temática 3: Estructuras Algebraicas



    Capacidades a Desarrollar


  1. Operar con estructuras algebraicas básicas.
  2. Construir algoritmos usando el lenguaje matemático.
  3. Manejar un lenguaje matemático estructurado, útil para plantear y simular problemas en el ámbito de la Ingeniería.


Contenidos



3.1 Grupos
  • Grupo de Números: Enteros; Enteros módulo n; Permutaciones; Racionales; Reales
  • Grupo de: n-uplas (Rn); Matrices; Polinomios.
3.2 Homomorfismo de grupos
  • Ejemplos especialmente en: R2; R3; Matrices; Polinomios
  • Núcleo e Imagen de un homomorfismo
  • Caracterización de la inyectividad y sobreyectividad
3.3 Isomorfismo de grupos
  • Ejemplos especialmente en: R2; R3; Matrices; Polinomios
3.4 Anillos
  • Definición de anillo
  • Anillo de Números Enteros
  • Anillo de Números Racionales
  • Anillo de Números Reales
3.5 Polinomios
  • Raíces de un polinomio
  • Polinomios irreductibles
  • Fracciones parciales
3.6 Matrices
  • Inversa de una matriz
  • Determinante:
    • Construcción de determinantes usando el método de Laplace
    • Propiedades
    • Inversión de matrices
3.7 Cuerpos
  • Definición
  • Ejemplos clásicos: Q; R; Zn cuando n es un número primo
  • El cuerpo de Números Complejos
    • Operatoria
    • Propiedades básicas
    • Forma polar o trigonométrica
    • Raíces de la unidad
      • Construcción y ejemplos
      • Interpretación geométrica
      • matriz de Fourier


    Tópicos a ser evaluados


  1. Manejo de situaciones que involucran:
    • Operatoria de grupo: Neutro, Inverso, resolución de Ecuaciones
    • Transformaciones geométricas (Homomorfismos e Isomorfismos de grupos)
    • Operatoria de matrices
    • Cálculo de determinantes
    • Inversión de matrices
    • Fracciones parciales
    • Operatoria en los números complejos
    • Raíces de la unidad y aplicaciones: Algoritmo de Cooley-Tukey


Unidad Temática 4: Sistemas Lineales



    Capacidades a Desarrollar


  1. Representar matricial de sistemas de ecuaciones lineales.(filtros)
  2. Interpretar el rango de la matriz de coeficientes del sistema como el grado de libertad de su sistema asociado.
  3. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales de orden arbitrario.
  4. Plantear problemas modelables y resolubles vía sistemas de ecuaciones lineales.


Contenidos



4.1 Sistemas de ecuaciones lineales
de orden (nxm)
  • Definición y ejemplos de sistemas lineales de orden (nxm)
4.2 Sistemas lineales y matrices
  • Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales de orden (nxm)
4.3 Solución de sistemas lineales
  • Solución matricial de un sistema de ecuaciones lineales de orden (nxm)
4.4 Matrices y sistemas lineales
  • Operaciones elementales de matrices
  • Matriz ampliada de un sistema de ecuaciones
  • Matriz escala reducida por filas
  • Rango de una matriz
  • Teorema del rango (solución de un sistema de ecuaciones lineales)
  • Método de Gauss
  • Problemas de aplicación


    Tópicos a ser evaluados


  1. Resolución de problemas que involucran:
    • Escalonamiento de matrices
    • Cálculo del rango de una matriz
    • Planteamiento y solución de sistemas de ecuaciones lineales de orden (nxm)


Unidad Temática 5: Transformaciones Lineales



    Capacidades a Desarrollar


  1. Construir representaciones lineales de vectores mediante el concepto de generador.
  2. Analizar la dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores.
  3. Representar un vector en el espacio usando el concepto de base. (sistema de referencia)
  4. Relacionar combinaciones lineales con matrices.
  5. Manejar los diversos sistemas de referencia en relación a los cambios de coordenadas.
  6. Determinar el núcleo e imagen de una transformación lineal.
  7. Clasificación de espacios vectoriales a través del teorema de la dimensión.
  8. Representar matricialmente transformaciones lineales.
  9. Caracterizar isomorfismos a través de matrices invertibles.
  10. Determinar valores y vectores propios de una transformación lineal.
  11. Diagonalizar matrices y transformaciones lineales.
  12. Generar algoritmos incipientes para matrices diagonalizables.
  13. Aplicar el concepto de ortogonalidad, para determinar en forma rápida las coordenadas de un vector.
  14. Ortogonalizar un conjunto de vectores para obtener una base ortogonal.
  15. Utilizar las proyecciones ortogonales para simplificar la complejidad de un problema.
  16. Generalizar el concepto del prototipo plano cartesiano eje x, eje y.(Un subespacio y su correspondiente complemento ortogonal)


Contenidos



5.1 Espacios vectoriales
de orden (nxm)
  • Definición y ejemplos
  • Subespacios
  • Generadores de un espacio vectorial
  • Base y dimensión
  • Espacio Coordenado
5.2 Transformaciones lineales
  • Definición de una transformación lineal
  • Construcción y ejemplos de transformaciones lineales
  • Núcleo e imagen de una transformación lineal
  • Teorema de la dimensión
  • Clasificación de espacios vectoriales (isomorfismos)
  • Representación matricial de una transformación lineal
  • valores y vectores propios de una transformación lineal
  • Criterios básicos de diagonalización de transformaciones lineales
5.3 Espacios con producto interno
  • Definición y ejemplos
  • Concepto de vectores ortogonales
  • Coeficientes de Fourier
  • Bases ortogonales
  • Proceso de ortogonalización de Gram Schmidt
  • Bases ortonormales
  • Norma inducida por un producto interno
  • Proyección ortogonal
  • Distancia de un vector a un subespacio
  • Complemento ortogonal


    Tópicos a ser evaluados


  1. Resolución de problemas que involucran:
    • Determinación de la existencia de subespacios
    • Análisis de la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores
    • Representación de vectores en distintas bases de un espacio vectorial
    • Análisis de transformaciones lineales
    • Determinación de núcleo e imagen de transformaciones lineales
    • Análisis de la inyectividad, sobreyectividad de una transformación lineal
    • Representación matricial de una transformación lineal
    • Cálculo de valores y vectores propios de una transformación lineal
    • Diagonalización de una transformación lineal
    • Ortogonalización de un conjunto de vectores
    • Bases ortogonales
    • proyección ortogonal
    • complemento ortogonal


Unidad Temática 6: Algebra Discreta



    Capacidades a Desarrollar


  1. Aplicar el algoritmo de la división.
  2. Reconocer las propiedades de los números primos.
  3. Aplicar el teorema fundamental de la aritmética.
  4. Generar particiones de los enteros a través de las clases residuales de enteros módulo n.
  5. Construir cuerpos finitos.


Contenidos



6.1 Los Números Enteros
de orden (nxm)
  • Algoritmo de la división
  • Máximo común divisor
  • Propiedades básicas de los números primos
  • Teorema fundamental de la aritmética
  • Los enteros módulo n
  • Estructuras cuocientes
  • cuerpos finitos
  • Generadores de un espacio vectorial
  • Base y dimensión
  • Espacio Coordenado


    Tópicos a ser evaluados


  1. Resolución de problemas que involucran:
    • Divisibilidad de enteros
    • Algoritmo de la división
    • Propiedades de los números primos
    • Determinación de clases de equivalencia de enteros (módulo n)


Datos Generales sobre el Programa



  • El presente programa fue confeccionado por el Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación de la Facultad de Ciencia de la Universidad de Santiago de Chile, mediante el trabajo del Vicedecano de Docencia y Extensión de la Facultad de Ciencia, Profesor Ricardo A. Santander Baeza.
  • El programa fue revisado por el Comité de Carrera de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Santiago de Chile, formado por los Profesores:
    • Eduardo Barra
    • Oscar Bustos
    • Heriberto Carrasco
    • Jorge Cerda
    • Max Chacón
    • Horacio Correa
    • Omar Gallardo
    • Ramón Hernández
    • Ricardo Hinojosa
    • Oscar Páez Rivera:
      • Vicedecano de Docencia y Formación Profesional de la Facultad de Ingeniería
      • Presidente de la Comisión de Docencia
    • El actual programa fue aprobado en la sesión ordinaria del Comité de Carrera de la Facultad de Ingeniería del 27 de Marzo del año 2001.

Oscar Páez Rivera
Vicedecano de Docencia y Formación Profesional